PROGRAM LINEAR

1.     Seorang dokter menyarankan pasiennya untuk paling sedikit setiap harinya memakan 10 unit dari vitamin B₁ dan paling sedikit 15 unit vitamin B₂. Pasien itu mendapatkan resep dari dokter bahwa yang dapat ia beli adalah tablet yang berisi 2 unit vitamin B₁ dan 1 unit vitamin B₂ atau kapsul dengan 1 unit vitamin B₁ dan 3 unit vitamin B₂. Jika harga setiap tablet Rp. 1.000,00 dan kapsul adalah Rp. 1.500,00, maka berapakah pasien itu sebaiknya mengambil masing-masing tablet dan kapsul agar biaya serendah-rendahnya. Hitung biaya setiap harinya.

Peny:

	Tablet	Kapsul	Jumlah
Vitamin B1	2	1	10
Vitamin B2	1	3	15
Harga	1000	1500

x = tablet

Y = kapsul

Fungsi tujuan:

  Meminimumkan biaya,

              z=1000x + 1500y

Fungsi kendala:

2x + y  10

x + 3y  15

x,y  0

       Kendala I : 2x + y = 10

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala I memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

       Kendala II: x + 3y = 15

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala II memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

Titik potong kedua kendala tersebut dapat dicari dengan subtitusi atau eliminasi

 

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik B (3,4)

Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu:

      Dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)

Untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 1000 (koefesien x) dan 1500 (koefisien y) adalah 15000.

Sehingga fungsi tujuan menjadi:

15000=1000x + 1500y

       Memotong sumbu x pada saat y = 0

       Memotong sumbu y pada saat x = 0

Garis ini akan memotong sumbu x pada titik (15,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,10)

Kita dapat melihat bahwa iso cost line menyinggung titik B (3,4) yang merupakan titik terdekat dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Dengan menggunkana eliminasi atau subtitusi diperoleh nilai x = 3 dan y = 4 dan

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang pasien yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak 3 unit vitamin B₁ dan 4 unit vitamin B₁ dan seorang pasien akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 9.000,00

      Dengan menggunakan titik sudut (corner point)

(x,y)	Z=1000x + 1500y
A (0,10)	15000
B (3,4)	3000+6000=9000
C (15,0)	15000

Ternyata nilai z pada titik B (3,4) lebih kecil daripada titik yang lain. Dengan demikian titik B adalah titik optimal.

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang pasien yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak 3 unit vitamin B₁ dan 4 unit vitamin B₁ dan seorang pasien akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 9.000,00

2.    Sebuah pabrik akan mengirim barang-barang produksinya dengan menggunakan 21 kotak A berukuran sedang dan 24 kotak B yang berukuran besar. Pengusaha pabrik itu menyewa kendaraan truk yang dapat memuat 3 kotak A dan 12 kotak B serta kendaraan pick-up yang dapat memuat 9 kotak A dan 6 kotak B untuk mengangkut baranng-barangnya kepada para langganan. Ongkos angkkutan sekali jalan untuk truk Rp 80.000,00 dan pick-up Rp 60.000,00. Berapa banyak truk dan pick-up yang harus disewa agar biayanya sedikit mungkin?

Penye:

	Truck	Pick-up	Jumlah
Kotak A	3	9	21
Kotak B	12	6	24
Ongkos angkutan	80000	60000

x = kotak A

Y = kotak B

Fungsi tujuan:

  Meminimumkan biaya,

              z=80000x + 60000y

Fungsi kendala:

3x + 9y  21    x + 3y  7

12x + 6y  24  2x + y  4

x,y  0

       Kendala I : x + 3y = 7

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala I memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

       Kendala II: 2x + y = 4

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala II memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

titik potong kedua kendala tersebut dapat dicari dengan subtitusi atau eliminasi

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik B

Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu:

      Dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)

untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 80000 (koefesien x) dan 60000 (koefisien y) adalah 480000.

Sehingga fungsi tujuan menjadi:

480000=80000x + 60000y

       Memotong sumbu x pada saat y = 0

       Memotong sumbu y pada saat x = 0

Garis ini akan memotong sumbu x pada titik (6,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,8)

Kita dapat melihat bahwa iso cost line menyinggung titik B (1,2) yang merupakan titik terdekat dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Dengan menggunkana eliminasi atau subtitusi diperoleh nilai x = 1 dan y = 2 dan

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan sebuah pabrik yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak 1 truck dan 2 pick-up dan sebuah pabrik akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 200.000,00

      Dengan menggunakan titik sudut (corner point)

(x,y)	Z=80000x + 60000y
7,0	560000
1,2	200000
0,4	240000

Ternyata nilai z pada titik B (1,2) lebih kecil daripada titik yang lain. Dengan demikian titik B adalah titik optimal.

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan sebuah pabrik yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak sebuah truck dan 2 pick-up dan sebuah pabrik akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 200.000,00

3.    Seorang petani modern menghadapi masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap hari sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27,21 dan 30 satuan unsure nutrisi jenis A,B,C setiap harinya. Dua jenis makanan P dan Q diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg makanan jenis P mengandung unsure nutrisi A,B,C masing-masing 1,1, dan 2 satuan, sedangkan satu kg makanann jenis Q mengandung unsure nutrisi A, B, C masing-masing 3, 1, dan 1 satuan. Perlu juga diketahui bahwa harga 1 kg makanan jenis P dan Q masing-masing adalah Rp 3.000,00 dan Rp 5.000,00. Petani tersebut harus  memutuskan apakah akan membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya, kemudian mencampurnya agar petani itu mengeluarkan uang serendah mungkin. Berapa besarnya pengeluaran petani tersebut?

Peny:

	Makanan jenis P (satuan)	Makanan jenis Q (satuan)	jumlah
Unsur A	1	3	27
Unsur B	1	1	21
Unsur C	2	1	30
Harga	3000	5000

x = makanan jenis P

Y = makanan jenis Q

Fungsi tujuan:

  Meminimumkan biaya,

              Z = 3000x + 5000y

Fungsi kendala:

x + 3y  27

x + y  21

2x + y  30

x,y  0

       Kendala I : x + 3y = 27

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala I memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

       Kendala II: x + y = 21

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala II memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

       Kendala III: 2x + y = 30

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala III memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

Titik potong ketiga kendala tersebut dapat dicari dengan subtitusi atau eliminasi

      Titik potong kendala I (x+3y 27) dengan kendala II ( x+y 21)

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik C

      Titik potong kendala III (2x + y   30) dan kenadala II ( x+y 21)

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik  B

Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu:

      Dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)

untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 3000 (koefesien x) dan 5000 (koefisien y) adalah 90000.

Sehingga fungsi tujuan menjadi:

90000=3000x + 5000y

       Memotong sumbu x pada saat y = 0

       Memotong sumbu y pada saat x = 0

Garis ini akan memotong sumbu x pada titik (30,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,18)

Kita dapat melihat bahwa iso cost line menyinggung titik C (18,3) yang merupakan titik terdekat dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Dengan menggunkana eliminasi atau subtitusi diperoleh nilai x = 18 dan y = 3 dan

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang petani modern yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak 18 makanan jenis P dan 3 makanan jenis Q dan seorang petani modern akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 69.000,00

      Dengan menggunakan titik sudut (corner point)

(x,y)	Z=3000x + 5000y
A (0,30)	150000
B (9,12)	27000+60000=97000
C (18,3)	54000+15000=69000
D (27,0)	81000

Ternyata nilai z pada titik C (18,3) lebih kecil daripada titik yang lain. Dengan demikian titik B adalah titik optimal.

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang petani modern yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak 18 makanan jenis P dan 3 makanan jenis Q dan seorang petani modern akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 69.000,00

4.    Suatu pengusaha peternakan ingin mencampur bahan pakan. Tiap hari ternaknya membutuhkan sedikit-dikitnya 12 kg unsure A, 1 kg unsure B, dan 40 kg unsure C. apabila di pasaran tersedia bahan pakan jenis I tiap kantongnya mengandung 600 gram unsure A, 20 gram unsure B dan 1 kg unsure C, sedangkan bahan pakan jenis II kantongnya mengandung 200 gram unsure A, 50 gram unsure B, dan 1 kg unsure C. Harga tiap kantong pakan jenis I adalah Rp 8.000,00 dan jenis II adalah Rp 9.000,00. Berapakah kantong pakan jenis I dan jenis II yang digunakan pengusaha terbak tersebut agar mengeluarkan biaya sedikit?

Peny:

	Pakan Jenis I (kg)	Pakan Jenis II (kg)	Jumlah (kg)
Uunsur A	0,6	0,2	12
Unsur B	0,02	0,05	1
Unsur C	1	1	40
Harga	8000	9000

x = pakan jenis I

Y = pakan jenis II

Fungsi tujuan:

  Meminimumkan biaya,

              z=8000x + 9000y

Fungsi kendala:

0,6x + 0,2y  12    3x + y  60

0,02x + 0,05y  1  2x + 5y  100

x + y  40 

x,y  0

       Kendala I : 3x + y = 60

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala I memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

       Kendala II: 2x + 5y = 100

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala II memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

      Kendala III : x + y = 40

       Memotong sumbu x pada saat y = 0

       Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala III memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

 

titik potong ketiga kendala tersebut dapat dicari dengan subtitusi atau eliminasi

      Titik potong kendala I (3x+y 60) dengan kendala III ( x+y 40)

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik A

      Titik potong kendala II (2x + 5y   100) dan kenadala III ( x+y 40)

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik  B  

Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu:

      Dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)

untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 8000 (koefesien x) dan 9000 (koefisien y) adalah 72000.

Sehingga fungsi tujuan menjadi:

720000=8000x + 9000y

       Memotong sumbu x pada saat y = 0

       Memotong sumbu y pada saat x = 0

Garis ini akan memotong sumbu x pada titik (90,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,80)

Iso cost line

Kita dapat melihat bahwa iso cost line menyinggung titik B  yang merupakan titik terdekat dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Dengan menggunkana eliminasi atau subtitusi diperoleh nilai x = dan y = dan z = 148.000.

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang pengusaha peternak yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak  pakan jenis I dan  pakan jenis II dan seorang peternak akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 148.000,00

      Dengan menggunakan titik sudut (corner point)

(x,y)	Z=8000x + 9000y
A (10,30)	350.000
	148.000
C (50,0)	400.000
D (0,60)	540.000

Ternyata nilai z pada titik B  lebih kecil daripada titik yang lain. Dengan demikian titik B adalah titik optimal.

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang pengusaha peternak yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak  pakan jenis I dan  pakan jenis II dan seorang peternak akan mengalokasikan biaya sebesar Rp 148.000,00

5.    Seorang anak mengidap suatu penyakit. Dokter menyarankan agar mengkonsumsi paling sedikit 75 zat kalsium dan 96  zat besi setiap harinya. Dia diberikan dua jenis obat yaitu obat I dan obat II. Obat I mengandung 15 zat kalsium dan 10 zat besi. Sedangkan  obat II mengandung 10 zat kalsium dan 16 zat besi. Harga masing-masing obat perbiji yaitu Rp 1.500,00 untuk obat I dan Rp 800,00 untuk obat II. Berapakah jumlah obat I dan obat II yang harus dikonsumsi oleh anak itu agar mengeluarkan  biaya seminimum mungkin?

Peny:

Kandungan	Obat I	Obat II	Kebutuhan
Kalsium	15	10	75
Besi	10	16	96
Ongkos angkutan	1500	800

x = obat I

Y = obat II

Fungsi tujuan:

  Meminimumkan biaya,

              z=1500x + 800y

Fungsi kendala:

15x + 10y  75  3x + 2y  15

10x + 16y  96  5x + 8y  48

x,y  0

       Kendala I : 3x + 2y = 15

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala I memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

       Kendala II: 5x + 8y = 48

      Memotong sumbu x pada saat y = 0

      Memotong sumbu y pada saat x = 0

Kendala II memotong sumbu x pada titik  memotong sumbu y pada titik

 

Titik potong kedua kendala tersebut dapat dicari dengan subtitusi atau eliminasi

Sehingga kedua kendala akan berpotongan di titik B

Untuk menentukan solusi optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu:

      Dengan menggunakan garis biaya (iso cost line)

untuk menggambarkan garis isocost, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi biaya. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 1500 (koefesien x) dan 800 (koefisien y) adalah 12000.

Sehingga fungsi tujuan menjadi:

12000=1500x + 800y

       Memotong sumbu x pada saat y = 0

       Memotong sumbu y pada saat x = 0

Garis ini akan memotong sumbu x pada titik (8,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,15)

Kita dapat melihat bahwa iso cost line menyinggung titik A  yang merupakan titik terdekat dari titik nol. Titik A ini merupakan titik optimal. Dengan menggunkana eliminasi atau subtitusi diperoleh nilai x = 0 dan y =  dan

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang pasien yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak unit obat I dan seorang pasien akan mengeluarkan biaya sebesar Rp 6.000,00

      Dengan menggunakan titik sudut (corner point)

(x,y)	Z=1500x + 800y
A	6000
B
C	14400

Ternyata nilai z pada titik A lebih kecil daripada titik yang lain. Dengan demikian titik A adalah titik optimal.

Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan seorang pasien yang akan memberikan biaya minimal adalah sebanyak unit obat I dan seorang pasien akan mengeluarkan biaya sebesar Rp 6.000,00