KOSET PADA STRUKTUR ALJABAR 1

BAB I   PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang

Struktur Aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang peranan penting dalam struktur aljabar karena dapat membentuk suatu konsep baru yang disebut modul.

Gagasan utama dalam mempelajari Struktur Aljabar adalah salah satunya mengenai “Koset”. Namun, sekarang ini masih banyak yang belum memahami koset secara sepenuhnya termasuk dalam meninjau dari berbagai aspek, sehingga kaitan antara Defenisi, Teorema, dan penggunaannya dalam menyelesaikan masalah belum nampak jelas.

Oleh karena itu, kami mencoba membahas secara lebih mendalam mengenai “Koset” yang disertai dengan pembuktian dan contoh dari beberapa  Teorema agar dapat lebih mudah mengetahui konsep yang dikandung dalam teorema tersebut.

B.   Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut.

1.      Bagaimanakah pemahaman mengenai koset?

2.      Sejauhmanakah keterkaitan koset dengan teorema lagrange?

3.      Sejauhmanakah keterkaitan koset dengan subgrup normal?

C.   Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini sebagai berikut.

1.      Untuk memahami mengenai koset.

2.      Untuk memahami keterkaitan koset dengan teorema lagrange.

3.      Untuk memahami keterkaitan koset dengan subgroup normal.

D.   Manfaat

Adapun manfaat dari makalah yang kami buat adalah sebagai berikut.

1.      Dapat memahami mengenai koset.

2.      Dapat memahami keterkaitan koset dengan teorema lagrange.

3.      Dapat memahami keterkaitan koset dengan subgroup normal.

BAB II  PEMBAHASAN

A.   Koset

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kita definisikan Koset kanan (kiri) dari H.

Deflnlsl 2.10 (Koset)

Misalkan a ada1ah sembarang elemen dari G. Himpunan

Ha ={ha: h e H}

disebut Koset Kanan dari H. Analog dengan itu,

aH ={ah: h e H} disebut Koset Kiri dari H. .

Berkaitan dengan pengertian di atas, dapat dikemukakan bahwa:

Jika (G, ) merupakan grup dan H subgroup dari G. misalkan a  G sebarang, maka koset kanan H ditulis H a = {h a : h  H} dan koset kiri H ditulis a H = { a h : h  H}.

Berdasarkan pendefinisian koset di atas, patut dipertanyakan “Apakah setiap grup H dari suatu grup G, selau mempunyai koset kiri atau koset kanan?”. Untuk menjawab pertanyaan ini, kita ambil  e  G, dengan e unsur identitas di G, maka

He = { he : h  H } = { h : h  H } = H

Dan               eH = { eh : h  H } = { h : h  H } = H

Ini berarti H merupakan koset kiri dan koset kanan dari dirinya sendiri di G yang dibangkitkan oleh e. juga sebelumnya telah ditunjukkan bahwa jika H subgroup dari grup G, dan e unsure identitas di G, maka e juga merupakan unsure identitas di H. karena e  H maka ea  Ha, akibatnya a   Ha, dan juga  ae  aH.

Hal ini menunjukkan pada kita, bbahwa koset kanan Ha paling sedikit mempunyai satu anggota yaitu a, demikian juga koset kiri aH. Akibatnya baik koset kanan maupun koset kiri tidak kosong. Pertanyaan selanjutnya, apakah aH = Ha? Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan
contoh berikut.

Contoh 5.1

                        Misalkan G = {1,-1,I,-i}

                                Defenisi operasi perkalian (x) pada G,

                                Maka (G,x) membentuk grup.

                Ambil H = {-1,1}, jelas H  G dan (H,x) meru[akan grup. jadi H subgrup dari G.

Selanjutnya perhatikan koset kanan dan koset kiri dari H berikut ini:

   1 × H  = {-1,1} = H          H × 1  = {-1,1} = H

 -1 × H   = {1,-1} = H          H ×-1  = {1,,-1} = H

  1 × H  = {-i,i}                        H × i    = {-I,i}

 -1 × H   = {i.-i}                        H ×-i   = {i,-i}

Contoh di atas koset kiri sama dengan koset kanan.

Contoh 5.2

                                Misalkan S = {a,b,c}

Bentuk grup simetri , yaitu semua permutasi yang didefenisikan pada S, maka  dapat dinyatakan sebagai berikut:

 =  dengan,

= , = , =

= , = , =

Misalkan H = = , maka H merupakan subgroup dari  (kenapa)? Selanjutnya jika kita ambil   maka

 ◦  = {  ◦ , ◦  } = , dan

 ◦ H = {  ◦ , ◦  }  =

Jelas dalam kasus ini H ◦   ◦ H.

Berdasarkan pada contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika H subgroup dari grup G, dan a  G sebarang maka koset kanan dan koset kiri yang dibangkitkan a, umumnya tidak sama, atau aH ≠ Ha. Pertanyaan selanjutnya, adalah sifat apa yang harus dipenuhi oleh G supaya aH = Ha? Berikut ini akan dibahas, beberapa sifat  dari koset yang masing-masing disajikan dalam  bentuk teorema

Beberapa sifat dari koset yang masing-masing disajikan dalam bentuk teorema sebagai berikut:

Jika h anggota sebarang dari H, dan H merupakan subgroup dari grup G, maka Hh = H dan hH = H.

Teorema 5.1 5.1

 

Bukti:

Karena H subgroup dari grup G, maka jelas H ≠ ø.

Ambil h  H sebarang.

Akan ditunjukkan  Hh = H dan hH = H

Untuk itu ambil sebarang x  Hh.

Maka x dapat ditulis dalam bentuk:

x = h’h untuk suatu h’  H

diketahui H subgroup dan h  H, h’  H.

akibatnya h’h  H atau x  H, ini menunjukkan

                         Hh ⊂ H                                               … (i)

Selanjutnya ambil sebarang y  H

Pandang y = ye, dimana e unsur identitas di H

                         = y(h^-1h)             [h  H          h^-1h = e]

                         = (yh^-1)h             [assosiatif]

Karena y  H, h  H, maka y  H, h^-1  H

Akibatnya yh^-1  H. tetapi y = (yh^-1)h

Maka            y  Hh. Hal ini menunjukkan bahwa:

                         H  Ha                                              … (ii)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa Hh = H

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan hH = H.

Contoh 5.3

Perhatikan kembali Contoh 5.1, yaitu G = {1,-1,i,-i} dan (G,x) membentuk grup, H= {-1,1}, merupakan subgroup G. Selanjutnya, ambil -1,1  H maka

                         1 × H = {-1,1} = H        H × 1 = {-1,1} = H

                      -1 × H = {1,-1} = H          H ×-1= {1,-1} = H

Misalkan H subgroup sebarang dari grup G dan a,b anggota sebarang dari G, maka (i)        Ha = Hb jika dan hanya jika ab-1  H (ii)      aH = bH jika dan hanya jika  b-1a  H

Teorema 5.2

 

Bukti:

    i.          Teorema 5.2.1

à      Bukti dari kiri ke kanan

Misalkan H subgroup dari grup G

Ambil sebarang a,b  G sedemikian sehingga Ha = Hb

Karena e  H (e unsure identitas) maka

              ae  Ha atau a  Ha

dari hipotesis diketahui Ha = Hb. Akibatnya diperoleh

Ha = Hb                 a  Hb      [ karena a  Ha dan Ha = Hb]

                                      ab^-1  (Hb)b^-1

                                      ab^-1  H(bb^-1)         

                              ab^-1  He

                              ab^-1  H     [ karena He = H]

à      Bukti dari kanan ke kiri

Misalkan  ab^-1  H, akan ditunjukkan Ha = Hb,

Untuk itu diperhatikan :

                         ab^-1  H       Hab^-1   = H       [dari Teorema 5.1]

                                                   Hab^-1b            = Hb

                                       Hae       = Hb

                                       Ha          = Hb

dengan demikian disimpulkan,

                   Ha = Hb jika dan hanya jika ab^-1  H.

  ii.          Teorema 5.2.2

à      Bukti dari kiri ke kanan

Misalkan H subgroup dari grup G

Ambil sebarang a,b  G sedemikian sehingga aH = bH

Karena e  H (e unsure identitas) maka

              ea  Ha   atau   a  Ha

dari hipotesis diketahui aH = bH. Akibatnya diperoleh

aH = bH                      a       bH     [ karena a  Ha dan Ha = Hb]

                                        b^-1a     b^-1(bH)

                                        b^-1a     (b^-1b)H

                                         b^-1a     (bb^-1)H

                                b^-1a      eH

                                b^-1a     H     [ karena eH = H]

à      Bukti dari kanan ke kiri

Misalkan  b^-1a  H, akan ditunjukkan aH = bH,

Untuk itu diperhatikan :

                         b^-1a  H       b^-1aH   = H     [dari Teorema 5.1]

                                                   bb^-1aH            = bH

                                            eaH           = bH

                                               aH  = bH

dengan demikian disimpulkan,

                   aH = bH jika dan hanya jika b^-1a  H.

Untuk sebarang dua koset kanan (kiri) subgroup berlaku salah satu sifat berikut: (i)    Keduanya saling lepas atau (ii) keduanya sama

Teorema 5.3

 

Bukti:

Misalkan  H subgroup dari grup G, dan juga misalkan Ha dan Hb merupakan koset kanan dari H yang masing-masing dibangkitkan oleh a dan b.

Akan ditunjukkan bahwa salah satu berikut ini yang berlaku Ha Ç Hb = ø  atau Ha = Hb

Untuk itu jika dimisalkan Ha Ç Hb ≠ ø, maka harus ditunjukkan bahwa Ha = Hb. Demikian juga sebaliknya jika Ha ≠ Hb maka haruslah Ha Ç Hb = ø.

Berikut ini salah satunya akan ditunjukkan, yaitu:

Misalkan Ha Ç Hb ≠ ø.

Ambil x  Ha Ç Hb, ini berarti x  Ha dan x  Hb,

Sehingga x dapat dinyatakan sebagai berikut:

             X =  a = b untuk suatu  H dan   H.

Karena   a = b  b = ^-1 ( a)

              b =( ^-1 ) a

              Hb = H( ^-1 ) a

              Hb = (H ^-1 ) a

              Hb = Ha [karena ^-1    H  H ^-1 = H].

Ini berarti dala kasus Ha Ç Hb ≠ ø maka Ha dan Hb sama.

Sebaagi latihan diharapkan pembaca untuk menunjukkan bahwa jika Ha ≠ Hb, maka Ha Ç Hb = ø .

Defenisi 5.4 Misalkan G grup dan H subgroup dari G, maka untuk sebarang a, b  G dikatakan a kongruen b modulo H ditulis a  b (mod H) didefenisikan a  b (mod H) jika dan hanya jika ab-1  H

Misalkan H subgroup dari G, dan didefenisikan relasi kongruen modulo H, yaitu a  b (mod H) jika dan hanya jika ab-1  H  a, b    G, maka relasi tersebut merupakan relasi ekuivalen.

Teorema 5.5

 

Bukti:

Misalkan H subgroup dari grup G.

Ambil sebarang a, b    G, kemudian didefenisikan

             a  b (mod H)  ab^-1  H

relasi di atas memenuhi sifat berikut.

i.       Refleksif

Misalkan a  G sebarang. Karena H subgroup dari G,

Maka aa^-1 = e  H,  a    G. sesuai dengan defenisi relasi di atas diperoleh a  a (mod H)  a    G.

Jadi, relasi  memenuhi sifat refleksif.

ii.       Simetri

Misalkan a, b    G sebarang dengan a  b (mod H).

Ini berarti bahwa jika a  b (mod H) maka ab^-1  H

                                                     H     [ karena H subgroup ]

                                   ba^-1     H

                                                         b     a (mod H)

Jadi, relasi  memenuhi sifat simetri.

iii.     Transitif

Misalkan a, b, c  G sebarang dengan a  b (mod H) dan b  c (mod H). Akan ditunjukkan a  c (mod H).

Karena a  b (mod H) maka ab^-1  H.

Demikian jga, karena b  c (mod H) maka bc^-1  H.

Karena H subgroup dan ab^-1 , bc^-1   H, maka (ab^-1 )(bc^-1 )  H

atau a(b^-1b)c^-1   H. karena (b^-1b) = e maka aec^-1  H ( e unsure identitas).

Jadi, ac^-1  H atau dengan kata lain a  c (mod H).

Hal ini menunjukkan bahwa relasi  memenuhi sifat transitif.

Karena ketiga sifat di atas dipenuhi oleh relasi “kongruen mod H” maka relasi tersebut merupakan relasi ekuivalen.

Telah ditunjukkan di atas bahwa jika H subgroup dari grup G, dan relasi “kongruen mod H” yang didefenisikan,

            a  b (mod H)  ab^-1  H,  a,b    G

merupakan relasi ekuivalen, maka relasi kongruen tersebut akan membagi G dalam kelas-kelas saling lepas, atau dengan kata lain relasi kongruen akan membagi G menjadi beberapa partisi yang berbeda.

Untuk memahami lebih mendalam pengertian partisi yang diakibatkan oleh relasi “kongruen mod H” di atas, berikut ini akan ditunjukkan bahwa kelas ekuivalen yang ditentukan oleh a  G (ditulis [a]) sama dengan koset kanan Ha.

Sesuai dengan defenisi [a] = { x  G : x  a (mod H)}

   Akan ditunjukkan bahwa [a] = Ha

Untuk itu, ambil x  [a] sebarang

x  [a]                          x        a (mod H)

                                   x a^-1          H

                                   x a^-1 a    Ha

                                          x      Ha ini berarti: [a] ⊆ Ha                                … (i)

Selanjutnya ambil sebarang y  Ha

y  Ha                     y a^-1      Haa^-1

                                     y a^-1      He

                                     y a^-1      H

                                         y       a (mod H)

                                         x       [a]

Ini berarti Ha ⊆ [a]

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa:

                                  [a] = Ha

Relasi ekuivalen menempatkan G ke dalam kelas-kelas yang saling lepas, maka G merupakan gabungan dari semua kelas-kelas ekuivalen yang ditentukan oleh anggota dari G. tetapi setiap kelas ekuivalen yang ditentukan oleh anggota dari G sama dengan koset kanan yang dibangkitkan oleh anggota tersebut. Juga telah ditunjukkan bahwa koset kanan tidak kosong dan tiap dua koset kanan, akan saling lepas atau akan sama yang satu dengan lainnya, maka G juga akan merupakan gabungan dari semua koset kanan yang berbeda dari H di G.

Jika H subgroup dari G, maka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan emua koset kiri yang berbeda dari H dengan himpunan semua koset kanan yang berbeda dari H.

Teorema 5.6

 

Bukti:

Misalkan:   G’ adalah himpunan semua koset kiri dari H dan

                         G’’ adalah himpunan semua koset kanan dari H

Bentuk pengaitan, f : G’  G’’

Definisikan f(aH) = Ha^-1 ,  a  G’

(i)        f suatu fungsi

(ii)      f satu-satu

(iii)    f onto (pada)

Jika H subgroup dari grup terhingga G, maka banyaknya koset kanan (kiri) yang berbeda dari H, sama dengan banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H. hal ini merupakan akibat dari Teorema 5.6.

Defenisi 5.7 Jika H subgroup dari grup terhingga G, maka banyaknya koset kanan (kiri) yang berbeda dari H, dikatakan indeks dari H di G dan dilambangkan oleh [G : H].

 

B.   Keterkaitan Koset dengan Teorema Lagrange

Suatu pedoman yag sering digunakan untuk menentukan banyaknya subgroup yang berbeda dari suatu grup terhingga, yaitu banyaknya anggota dari subgroup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya. Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Lagrange berikut.

Jika G grup terhingga dan H subgroup dari G maka (H) | (G) (order H membagi order G)

Teorema 5.8

 

Bukti:

Misalkan G grup terhingga dan H subgroup dari G.

Maka jelas H juga tergingga.

Sebut   (H) = m dan (G) = n

Karena (H) = m, maka H mempunyai m anggota yang berbeda.

Tulis m anggota dari H tersebut, yaitu h₁, h₂, h₃, …, h_m

Oleh karena itu, untuk sebarang a  G, koset kanan Ha yaitu:

             Ha = { h₁a, h₂a,  …, h_ma}

Jelas h_ia ≠ h_ja untuk i ≠ j.

(karena jika diandaikan  h_ia=h_ja, maka hokum pencoretan kanan memberikan h_i=h_j, yang kontradiksi dengan asumsi bahwa h_i ≠ h_j untuk i ≠ j).

Jadi, Ha mempunyai m anggota yang berbeda.

Sehingga setiap koset dari H di G memuat m anggota yang berbeda.

Selanjutnya , misalkan G memuat k koset kanan yang berbeda itu.

Akibatnya k koset kanan akan mempunyai mk anggota yang berbeda.

Oleh karena itu, G mempunyai mk anggota, dengan kata lain:

                                            (G) = mk

             atau                            n   = mk

             atau                              = k

             atau                        = k

ini berarti (H) membagi (G).

Karena n = mk, maka   = m atau  = m, akibatnya indeks subgroup dari grup terhingga, membagi orde grup tersebut.

Kebalikan Teorema Lagrange tidak selalu benar, dalamarti jika (G) = n dan ada m bilangan bulat positif sehingga m|n (m membagi n) tidak selamanya ada subgroup H dari G dengan (H) = m.

Contoh 5.4 

Pandang grup simetri P₄ yaitu semua permutasi berderajat 4. Maka (P₄) =4!=24.

Misalkan A₄ grup permutasi genap yang berderajat 4 maka,

(A₄) =  =  = 12

Sekarang ambil 6 adalah bilangan bulat positif, jelas 6 membagi 12 tetapi tidak ada subgroup proper dari  yang A₄  yang berorde 6.

Jika G suatu grup terhingga maka t(a) | (G),  a  G

Akibat 5.9 (Akibat Teorema Lagrange)

 

C.   Keterkaitan Koset dengan Subgroup Normal

Telah diuraikan sebelumnya  bahwa jika G suatu grup dan H subgroup dari G dan  a  G. aH dan Ha masing-masing dikenal sebagai koset kiri dan koset kanan. Juga telah ditunjukkan oleh beberapa contoh bahwa tidak selamanya koset kiri sama dengan koset kanan. Dalam kasus koset kiri sama dengan koset kanan maka subgroup tersebut dikaatakan subgroup normal. 

Defenisi 5.10 Misalkan G grup dan H subgroup dari G, H disebut subgruo normal jika koset kiri dari H sama dengan koset kanan dari H di G.

 

Berdasarkan dengan defenisi di atas, dapat dituliskan bahwa, H subgroup normal jika dan hanya jika xH = hx,  x  G.

Contoh 5,.5

Misalkan G grup komutatif, dan H subgroup sebarang dari G, maka H normal karena  x  G berlaku

xH  = {xh : h  H}

         = {hx : h  H}   [karena G komutatif, dan x, h h  G]

         = Hx

Contoh 5.6

a.         Misalkan G grup, maka  x  G berlaku:

         xG = Gx = G ini berarti, bahwa:

         G merupakan subgroup normal dari G.

b.        Pandang H = {e} dimana e identitas di grup G jelas H subgroup dari G dan  x  G, xH = Hx = {x}.

         Jadi, H juga subgroup normal dari G.

Contoh 5.6 di atas menunjukkan bahwa jika G grup maka G dan {e} selalu merupakan subgroup normal dari G. Dalam hal ini G dan {e} disebut subgroup normal trivial (subgroup normal taksejati).

Defenisi 5.11 Suatu grup dinamakan grup Hamilton jika setiap subgrupnya normal.

 

Defenisi 5.12 Suatu grup tanpa  grup noemal sejati (nontrivial) dinamakan grup sederhana.

Jadi setiap grup komutatif, merupakan grup Hamilton.

Defenisi 5.12 di atas dapat diartikan sebagai berikut.

G grup sederhana jika dan hanya jika G tidak mempunyai subgroup normal selain G dan {e}.

Contoh 5.7

Teorema 5. 13

Setiap grup yang berorde prima merupakan grup sederhana, karena jika G grup dan orde G prima, maka subgroup dari G hanya G dan {e}, dengan kata lain G tidak mempunyai subgroup sejati. Akibatnya G juga tidak mempunyai subgroup normal sejati. Jadi G grup sederhana.

Suatu subgroup H dari grup G adalah normal jika dan hanya jika xHx-1 ⊆ H,   x  G

 

Bukti:

à   Bukti dari kiri ke kanan

Misalkan H subgroup normal dari grup G,

maka xH = Hx  x  G

pandang         xH = {xh : h  H}

                     Hx = {hx : h  H}

jika xh  xH dan hx  Hx, maka xh = h₀ x untuk suatu h₀  H.

ambil sekarang y  xHx^-1 maka y = (xh) x^-1 untuk suatu h  H.

                   xh  xH    = Hx

                               y       = (xh) x^-1

                                         = (h₀ x) x^-1

                                         = h₀ (xx^-1)

                                         = h₀e = h₀  H

Karena pengambilan y sebarang di xHx^-1, maka xHx^-1 ⊆ H

à   Bukti dari kanan ke kiri

Misalkan H subgroup dari grup G dan mememuhi

                   xHx^-1 ⊆ H  x  G

akan ditunjukkan H normal.

Ambil sekarang x  G,  h  H.

Pandang xh  xH dan xh = (xhx^-1) x.

Karena xhx^-1  xHx^-1⊆ H, maka

xhx^-1 = h₀  H untuk suatu h₀  H.

akibatnya xh = h₀ x  Hx

jadi  xH ⊆ Hx                                                … (i)

selanjutnya, ambil sekarang y  Hx, maka

y    = hx, untuk suatu h  H

y    = hx = x(x^-1hx).

Karena (x^-1hx)  x^-1Hx ⊆ H,

Maka x^-1hx = h₀, untuk suatu h₀  H

Akibatnya y = hx = x(x^-1hx) = x h₀  xH

Jadi  Hx ⊆ xH                                           … (ii)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa xH = Hx,  x  G.

Berdasarkan Defenisi 5.10, maka H subgroup normal di G.

Misalkan G grup dan N subgroup dari G, N normal jika dan hanya jika gNg-1 = N  g  G.

Akibat 5. 14

 

Jika G grup dan N subgroup normal dari G maka pernyataan berikut ekuivalen:

(i)                 Ng        = gN,       g  G

(ii)               gNg^-1  ⊆ N,         g  G

(iii)             gNg^-1  = N,          g  G.

Jika N subgroup normal dari grup G dan K subgroup dari G sehingga N ⊆ K ⊆ G, maka N juga subgroup normal dari K.

Teorema 5. 15

 

Bukti:

Karena N subgroup normal dari grup G, maka jelas N subgroup G.

Dengan demikian N, K masing-masing subgroup dari G.

Karena N ⊆ K maka N merupakan subgroup dari K.

Perlu ditunjukkan bahwa N normal di K.

Untuk itu, ambil sebarang k  K

Karena k  K dan K ⊆ G maka k  G.

Akibatnya kNk^-1  N, (karena N normal di G).

Hal ini menunjukkan kNk^-1 ⊆ N  k  K

Dengan demikian, berdasarkan Teorema 5. 13.

Disimpulkan bahwa N merupakan subgroup normal dari K.

Jika N, M subgroup normal dari grup G dengan N  M = G dan N Ç M = {e} maka G grup komutatif (e identitas di G).

Teorema 5. 16

 

Bukti:

Ambil n, m sebarang dengan n  N, m  M.

Karena N⊆ G dan M ⊆ G, maka n, m  G.

Akan ditunjukkan bahwa nm = mn

Untuk itu, pandang N subgroup normal dari G,

Dan n  N, m  M ⊆ G,

Maka mnm^-1  N                                                                                      … (i)

Selanjutnya pandang M subgroup normal dari G,

Dan m  M, n  N ⊆ G,

Maka nmn^-1  M.                                                                                    … (ii)

Perhatikan nmn^-1m^-1 = n(mn^-1m^-1) = (nmn^-1)m^-1                        … (iii)

Dari (i) mnm^-1  N dan n  N, maka n(mn^-1m^-1)  N           … (iv)

Dari (ii) nmn^-1  M dan m^-1  M, maka (nmn^-1)m^-1  M       … (v)

Gunakan kenyataan (iv) dan (v) disimpulkan bahwa:

nmn^-1m^-1  N Ç M = {e}.

Jadi, nmn^-1m^-1 = e atau nm = mn,  n, m  G.

Dengan kata lain G merupakan komutatif.

Bebearapa sifat subgroup normal dari suatu grup telah diberikan di atas, dan berikut ini akan dimanfaatkan sifat tersebut untuk koleksi dari semua koset kiri dari subgroup normal. Misalkan N subgroup normal N dari G. maka koset kanan Ng dan koset kiri gN sama. Jadi untuk subgrupnormal tidak ada perbedaan antara koset kiri dengan koset kanan.

Bentuk himpunan G/N = {Ng : g  G} yaitu himpunan semua koset dari subgroup normal N di G. maka G/N memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

(i)        jelas G/N ≠ ø

(ii)      akan  ditunjukkan G/N tertutup.

          Ambil sekarang x, y  G/N

          x = Na                          untuk suatu a  G

          y = Nb                         untuk suatu b  G

          xy = (Na) (Nb)                       = N (aN) b

                                                                   = N (Na) b   [karena aN = Na]

                                                                   = (NN) ab

                                                                   = Nab              [N subgroup, NN = N]

          Karena a, b  G dan G grup maka ab  G.

          Dengan demikian xy  G/N, ini berarti G/N tertutup.

(iii)    Akan ditunjukkan G/N assosiatif

Jika kita ambil Na, Nb, Nc anggota sebarang dari G/N,

Maka {(Na)(Nb)}(Nc)    = (Nab)(Nc)

                                                         = N(ab)c

                                                         = Na(bc)

                                                         = Na(Nbc)

                                                         = (Na){(Nb)(Nc)}.

Ini berarti perkalian koset bersifat assosiatif atau  G/N memenuhi sifat assosiatif.

(iv)    Akan ditunjukkan, ada unsure identitas.

jika kita pilih e  G, unsur identitas di G, maka

Ne = N  G/N

Untuk sebarang Na  G/N berlaku

(Na) (Ne) = Nae = Na

Dan (Ne) (Na) = Nea = Na

Jadi (Na) (Ne) = (Ne) (Na) = Na,  Na  G/N

Ini berarti Ne = N merupakan identitas di G/N

(v)      Setiap anggota mempunyai invers di G/N

Ambil sekarang Ng  G/N,

Maka Ng^-1  G/N   [karena g  G maka g^-1  G]

Dan memenuhi:

(Ng) (Ng^-1) = Ngg^-1 = Ne = N

Dan  (Ng^-1) (Ng) = Ng^-1g = Ne = N

Jadi invers dari ng adalah Ng^-1  G/N.

Dari uraian (i) - (v) di atas dapat disimpulkan bahwa:

G/N = {Ng : g  G} membentuk grup terhadap perkalian koset.

Defenisi 5. 17 Misalkan N subgroup normal dari grup G, dan G/N = {Ng : g  G} dengan perkalian koset membentuk grup. G/N disebut grup faktor (Grup Quotient) dari G atas N.

 

Contoh 5.8

Misalkan Z= himpunan bilangan bulat.

(Z, +) membentuk grup.

Ambil sebarang m  Z, dan bentuk H = (ma : a  Z)

Dapat ditunjukkan bahwa, H merupakan subgroup normal dari Z. selanjutnya jika kita ambil sebarang a  Z, maka menurut algoritma pembagian, hubungan bilangan bulat m dan a adalah:

A = mq + r dimana 0 ≤r < m, untuk suatu q, r  Z.

Tinjau kasus demi kasus untuk r sebagai berikut:

Kasus I. untuk r = 0 maka a mq

Akibatnya,

a + H = mq + H   [karena mq  H  mq + H =H]

jadi, a + H = H untuk a = mq.

Kasus II.  Untuk r = 1, maka a = mq + 1

dalam kasus ini:

a + H = (mq + 1) + H = (mq + H) + (1 + H)

= H + (a + H)

= 1 + H      [(H + (1 +H) = (0+H) + (1+H) = (1+H)]

Jadi, a+H = 1+H   untuk a = mq +1

Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh:

a+H = 2+H                          untuk a = mq+2

a+H = 3+H                          untuk a = mq+3

…    .      …                                    ….        …= … ..+ …

a+H = (m-1)+H                  untuk a = mq+(m-1).

Jadi, koset-koset yang berbeda dari H di Z adalah

H, 1+H, 2+H, 3+H, …, (m-1)+H.

Dengan demikian grup faktor

Z/N = {H, 1+H, 2+H, …, (m-1)+H}

Jika H subgroup normal dari grup hingga G, maka berlaku   (G/H) =

Teorema 5.18

 

BAB III   PENUTUP

A.   Kesimpulan

Adapun kesimpulan dari makalah yang kami buat adalah sebagai berikut:

1.        Koset kanan Ha maupun koset kiri aH memiliki paling sedikit satu anggota sehingga baik dari koset kanan maupun koset kiri tidak kosong,

2.      Jika H subgroup dari grup terhingga G, maka banyaknya koset kanan (kiri) yang berbeda dari H, sama dengan banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H. hal ini merupakan akibat dari Teorema 5.6.

3.      Teorema lagrange adalah banyaknya anggota dari subgroup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya.

4.       Jika koset kanan sama dengan koset kiri maka subgroup tersebut dinamakan subgroup normal.

B.   Saran

Adapun saran dari makalah yang kami buat adalah sebagai berikut:

1.      Hendaknya pembaca tidak sekedar mampu mengetahui dan mengaplikasikan Teorema Koset dalam Struktur Aljabar tapi mereka harus mengetahui tentang bagaimana proses ditemukannya atau dalam artian sejarahnya

2.      Sebaiknya buku mengenai Struktur Aljabar terutama mengenai koset lebih diperbanyak lagi di perpustakaan.

DAFTAR PUSTAKA

Abdullah, Juniati dkk. “Koset Dan Teorema Lagrance “. 2010. http://www.scribd.com/scribd101. (23 april 2011).

Noname. “Bab 2 Grup dan Semi grup”. http://www.linkpdf.com/ebookviewer.php?url=http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/pengantar_struktur_diskrit/bab2-grup_dan_semigrup.pdf. (28 april 2011).

Tahmir, Suradi. 2004. “Teori Grup”. Makassar: Andira Publisher.